ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่ากลางของข้อมูลแจกแจงความถี่ (อันตรภาคชั้น)
ข้อมูลแจกแจงความถี่ใช้จุดกึ่งกลางชั้น x แทนข้อมูลในชั้น: x̄ = Σfx ÷ N, σ = √[Σf(x − x̄)² ÷ N] และ มัธยฐาน = L + ((N/2 − F) ÷ f) × I โดย L คือขอบล่างของชั้นมัธยฐาน F คือความถี่สะสมก่อนชั้นนั้น f ความถี่ของชั้น และ I ความกว้างชั้น เช่น ชั้น 10–19, 20–29, …, 50–59 ความถี่ 5, 8, 12, 10, 5 ได้ x̄ = 35, σ ≈ 12.0312 และมัธยฐาน ≈ 35.3333
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (แจกแจงความถี่)
- พิมพ์ตารางแจกแจงความถี่ทีละบรรทัด เช่น 10-19 5 หมายถึงชั้น 10–19 มีความถี่ 5 (คัดลอกจากหนังสือหรือ Excel ได้)
- เลือกว่าหาร N (ประชากร) หรือ N − 1 (ตัวอย่าง) และกรอกเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการเพิ่มถ้ามี
- อ่านค่าเฉลี่ย SD มัธยฐาน ฐานนิยม ควอร์ไทล์ พร้อมตารางความถี่สะสม วิธีทำทีละขั้น และฮิสโทแกรม
สูตรสำหรับข้อมูลแจกแจงความถี่
x̄ = Σfx ÷ N · σ² = Σf(x − x̄)² ÷ N · σ = √σ²
x คือจุดกึ่งกลางชั้น = (ขอบล่าง + ขอบบน) ÷ 2, f ความถี่ของชั้น, N = Σf · สูตรลัด: σ² = Σfx²/N − x̄² · ตัวอย่าง: s² = Σf(x − x̄)² ÷ (N − 1)
| ค่า | สูตร | ตัวแปร |
|---|---|---|
| มัธยฐาน | L + ((N/2 − F) ÷ f) × I | L ขอบล่างจริงของชั้นมัธยฐาน (ชั้นแรกที่ความถี่สะสม ≥ N/2), F ความถี่สะสมก่อนชั้นนั้น, f ความถี่ชั้นนั้น, I ความกว้างชั้น |
| ควอร์ไทล์ Qᵣ | L + ((rN/4 − F) ÷ f) × I | ใช้ชั้นแรกที่ความถี่สะสม ≥ rN/4 |
| เปอร์เซ็นไทล์ Pᵣ | L + ((rN/100 − F) ÷ f) × I | ใช้ชั้นแรกที่ความถี่สะสม ≥ rN/100 |
| ฐานนิยม | L + (d₁ ÷ (d₁ + d₂)) × I | ชั้นฐานนิยมคือชั้นที่ f มากสุด, d₁ = f − f ของชั้นก่อนหน้า, d₂ = f − f ของชั้นถัดไป |
ขอบล่างจริง ของชั้น 10–19 คือ 9.5 (กึ่งกลางระหว่าง 9 กับ 10) และขอบบนจริงคือ 19.5 ความกว้างชั้น I = 19.5 − 9.5 = 10 โปรแกรมหาขอบจริงให้อัตโนมัติจากช่องว่างระหว่างชั้น
ตัวอย่างการคำนวณ
ตาราง: ชั้น 10–19, 20–29, 30–39, 40–49, 50–59 ความถี่ 5, 8, 12, 10, 5 (N = 40)
- จุดกึ่งกลางชั้น x = 14.5, 24.5, 34.5, 44.5, 54.5 → Σfx = 72.5 + 196 + 414 + 445 + 272.5 = 1,400 → x̄ = 1,400 ÷ 40 = 35
- Σf(x − x̄)² = 5(20.5)² + 8(10.5)² + 12(0.5)² + 10(9.5)² + 5(19.5)² = 5,790 → σ² = 5,790 ÷ 40 = 144.75, σ = √144.75 ≈ 12.0312
- มัธยฐาน: N/2 = 20 ความถี่สะสม 5, 13, 25, … ชั้นมัธยฐานคือ 30–39 (L = 29.5, F = 13, f = 12, I = 10) → 29.5 + ((20 − 13)/12) × 10 ≈ 35.3333
- ฐานนิยม: ชั้น 30–39 มี f มากสุด d₁ = 12 − 8 = 4, d₂ = 12 − 10 = 2 → 29.5 + (4/6) × 10 ≈ 36.1667
- Q₁: N/4 = 10 อยู่ชั้น 20–29 → 19.5 + ((10 − 5)/8) × 10 = 25.75 · Q₃: 3N/4 = 30 อยู่ชั้น 40–49 → 39.5 + ((30 − 25)/10) × 10 = 44.5
ทำไมค่าที่ได้จากตารางต่างจากข้อมูลดิบ
เมื่อจัดกลุ่มข้อมูลแล้ว เราไม่รู้ค่าจริงแต่ละตัว จึงสมมติว่าทุกค่าในชั้นเท่ากับจุดกึ่งกลางชั้น ค่าเฉลี่ยและ SD ที่ได้จึงเป็นค่าประมาณ ซึ่งปกติใกล้เคียงกับค่าจากข้อมูลดิบ แต่ไม่เท่ากันพอดี ข้อสอบจะระบุว่าให้ใช้ตารางหรือข้อมูลดิบ ให้ทำตามที่โจทย์กำหนด
ขอบชั้นจริงและความกว้างชั้น
- ชั้นเป็นจำนวนเต็ม เช่น 10–19 กับ 20–29 มีช่องว่าง 1 → ขอบจริง 9.5–19.5 กว้าง 10
- ชั้นทศนิยม 1 ตำแหน่ง เช่น 1.0–1.9 กับ 2.0–2.9 ช่องว่าง 0.1 → ขอบจริง 0.95–1.95 กว้าง 1
- ชั้นต่อเนื่อง เช่น 0–10, 10–20 ไม่มีช่องว่าง → ขอบจริงคือ 0 และ 10 กว้าง 10 (ค่าตรงขอบนับเข้าชั้นบนตามข้อตกลงของโจทย์)
- ถ้าความกว้างชั้นไม่เท่ากัน สูตรมัธยฐาน/ควอร์ไทล์ยังใช้ได้ โดยใช้ I ของชั้นที่ค่านั้นตกอยู่ แต่ฮิสโทแกรมควรปรับความสูงเป็นความหนาแน่น
ข้อมูลค่าเดี่ยวที่มีความถี่
ถ้าพิมพ์ 3 4 (ค่า 3 มีความถี่ 4) โดยไม่มีช่วงชั้น โปรแกรมจะคิดแบบข้อมูลไม่จัดกลุ่ม: ค่าเฉลี่ย = Σfx/N, มัธยฐานคือค่าตรงตำแหน่ง (N + 1)/2 ของข้อมูลที่กระจายออกตามความถี่ และฐานนิยมคือค่าที่มีความถี่สูงสุด เหมาะกับตารางคะแนนสอบหรือจำนวนบุตรต่อครอบครัว
คำถามที่พบบ่อย
มัธยฐานของข้อมูลแจกแจงความถี่ใช้ N/2 หรือ (N+1)/2
สำหรับข้อมูลจัดกลุ่มเป็นอันตรภาคชั้น หลักสูตร สสวท. ใช้ตำแหน่ง N/2 กับสูตร L + ((N/2 − F)/f) × I ส่วน (N + 1)/2 ใช้กับข้อมูลไม่จัดกลุ่มที่เรียงค่าแล้ว
ถ้าความถี่สะสมเท่ากับ N/2 พอดี ใช้ชั้นไหน
ใช้ชั้นแรกที่ความถี่สะสมมากกว่าหรือเท่ากับ N/2 ซึ่งสูตรจะให้ค่าเท่ากับขอบบนจริงของชั้นนั้นพอดี (เท่ากับขอบล่างของชั้นถัดไป) โปรแกรมนี้ใช้ข้อตกลงเดียวกัน
ฐานนิยมมีได้มากกว่าหนึ่งชั้นไหม
ถ้าหลายชั้นมีความถี่สูงสุดเท่ากัน ตามหลักสูตรถือว่ามีหลายฐานนิยมหรือไม่นิยมหาฐานนิยม โปรแกรมจะคำนวณให้จากชั้นแรกที่ความถี่สูงสุดและแจ้งเตือนไว้
ใส่ข้อมูลจาก Excel ได้ไหม
ได้ คัดลอกสองคอลัมน์ (ชั้น, ความถี่) มาวาง โปรแกรมรับช่องว่างแบบแท็บ จุลภาค และเครื่องหมายขีดแบบ – หรือ - ได้