โปรแกรมคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) และค่าสถิติพื้นฐาน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √[ Σ(x − x̄)² ÷ N ] สำหรับประชากร และ s = √[ Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ] สำหรับกลุ่มตัวอย่าง บอกว่าข้อมูลกระจายห่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด เช่น ข้อมูล 4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 9, 10, 8 มีค่าเฉลี่ย 6.8 ความแปรปรวน 4.56 และ σ ≈ 2.1354 (s ≈ 2.2509)
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลดิบ)
- วางข้อมูลดิบทั้งหมดลงในช่อง คั่นด้วยเว้นวรรค จุลภาค หรือขึ้นบรรทัดใหม่ (คัดลอกจาก Excel มาวางได้)
- เลือกว่าข้อมูลเป็นประชากรทั้งหมด (หาร N) หรือกลุ่มตัวอย่าง (หาร n − 1) และเลือกวิธีหาควอร์ไทล์ตามที่โรงเรียนสอน
- อ่านค่า SD ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม ควอร์ไทล์ z-score พร้อมตารางวิธีทำและกราฟการกระจาย
สูตรสถิติที่ใช้
| ค่าสถิติ | สูตร | ความหมาย |
|---|---|---|
| ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x̄ | Σx ÷ n | ผลรวมหารด้วยจำนวนข้อมูล |
| มัธยฐาน | ค่าตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูล | n คู่ → เฉลี่ยสองค่ากลาง |
| ฐานนิยม | ค่าที่ซ้ำมากที่สุด | อาจมีหลายค่าหรือไม่มี |
| ความแปรปรวนประชากร σ² | Σ(x − x̄)² ÷ N | หรือ Σx²/N − x̄² |
| ความแปรปรวนตัวอย่าง s² | Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) | หาร n − 1 เพื่อไม่ให้ประมาณต่ำเกินจริง |
| ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน | σ = √σ², s = √s² | หน่วยเดียวกับข้อมูล |
| ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย M.D. | Σ|x − x̄| ÷ n | ระยะห่างเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ย |
| ควอร์ไทล์ Qᵣ (สสวท.) | ตำแหน่ง r(n + 1)/4 | ถ้าไม่ลงตัวให้เทียบบัญญัติไตรยางศ์ระหว่างสองค่าข้างเคียง |
| สัมประสิทธิ์การแปรผัน C.V. | σ ÷ x̄ × 100% | ใช้เทียบการกระจายของข้อมูลต่างหน่วย |
| คะแนนมาตรฐาน z | (x − x̄) ÷ σ | x อยู่ห่างค่าเฉลี่ยกี่ SD |
ตัวอย่างการคำนวณ
ข้อมูล: 4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 9, 10, 8 (N = 10)
- ค่าเฉลี่ย x̄ = 68 ÷ 10 = 6.8
- หา (x − x̄)² ของทุกค่า: 7.84, 1.44, 0.64, 3.24, 14.44, 0.04, 1.44, 4.84, 10.24, 1.44 → รวมได้ 45.6
- ความแปรปรวน σ² = 45.6 ÷ 10 = 4.56 (ถ้าเป็นตัวอย่าง s² = 45.6 ÷ 9 ≈ 5.0667)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √4.56 ≈ 2.1354 (s ≈ 2.2509)
- เรียงข้อมูล 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10 → มัธยฐาน = (7 + 8)/2 = 7.5, ฐานนิยม = 8, Q₁ อยู่ตำแหน่ง 2.75 = 4.75, Q₃ อยู่ตำแหน่ง 8.25 = 8.25
หาร N หรือ n − 1 ดี?
ถ้าข้อมูลคือทุกหน่วยที่สนใจ (เช่น คะแนนของนักเรียนทั้งห้องและต้องการสรุปเฉพาะห้องนี้) ใช้สูตรประชากร หาร N ได้ σ แต่ถ้าข้อมูลเป็นเพียงตัวอย่างที่สุ่มมาเพื่อประมาณค่าของประชากรใหญ่กว่า ใช้ n − 1 ได้ s ซึ่งเป็นตัวประมาณที่ไม่เอนเอียง ข้อสอบ ม.6 มักระบุไว้ชัดเจน ส่วน Excel ใช้ STDEV.P สำหรับ σ และ STDEV.S สำหรับ s
การหาควอร์ไทล์ต่างวิธีให้ค่าต่างกัน
หลักสูตร สสวท. ใช้ตำแหน่ง Qᵣ = r(n + 1)/4 ของข้อมูลที่เรียงแล้ว เช่น n = 10 → Q₁ อยู่ตำแหน่ง 2.75 คือค่าตัวที่ 2 บวก 0.75 เท่าของผลต่างระหว่างตัวที่ 2 กับ 3 ส่วน Excel (QUARTILE.INC) ใช้ตำแหน่ง (n − 1)p + 1 จึงได้ค่าต่างกันเล็กน้อยสำหรับข้อมูลชุดเดียวกัน หากทำการบ้านให้ยึดวิธีที่ครูสอน และระบุวิธีที่ใช้เมื่อรายงานผล
อ่านค่า SD อย่างไร
- SD = 0 แปลว่าข้อมูลทุกค่าเท่ากัน ยิ่ง SD มากข้อมูลยิ่งกระจาย
- ถ้าข้อมูลแจกแจงใกล้เคียงปกติ ประมาณ 68% ของข้อมูลอยู่ในช่วง x̄ ± 1 SD และ 95% อยู่ใน x̄ ± 2 SD
- z-score บอกว่าค่านั้นอยู่เหนือ (บวก) หรือต่ำกว่า (ลบ) ค่าเฉลี่ยกี่ SD ใช้เทียบคะแนนต่างวิชาได้ เช่น z = 1.5 คือสูงกว่าค่าเฉลี่ย 1.5 SD
- C.V. ใช้เทียบการกระจายของข้อมูลที่หน่วยหรือขนาดต่างกัน เช่น ราคาหุ้นกับน้ำหนักตัว
คำถามที่พบบ่อย
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกับความแปรปรวนต่างกันอย่างไร
ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะห่างจากค่าเฉลี่ย (หน่วยยกกำลังสอง) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน จึงมีหน่วยเดียวกับข้อมูลและตีความง่ายกว่า
ทำไมค่าที่ได้ไม่ตรงกับเครื่องคิดเลข Casio
เครื่องคิดเลขมีทั้ง σx (หาร n) และ sx (หาร n − 1) ตรวจว่ากดอ่านค่าตัวไหน โปรแกรมนี้แสดงทั้งสองค่าให้เทียบ
ข้อมูลมีค่าซ้ำกันหมดจะได้ SD เท่าไร
ได้ 0 เพราะทุกค่าเท่ากับค่าเฉลี่ย ไม่มีการกระจาย และสัมประสิทธิ์การแปรผันเป็น 0% เช่นกัน
ถ้ามีข้อมูลเป็นตารางแจกแจงความถี่ใช้โปรแกรมนี้ได้ไหม
ใช้โปรแกรม “ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)” แทน ซึ่งรับอันตรภาคชั้นกับความถี่ และใช้จุดกึ่งกลางชั้นตามสูตรในหนังสือเรียน