เรขาคณิตและเมทริกซ์

โปรแกรมคูณเมทริกซ์ (Matrix Multiplication)

A × B หาได้เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B ถ้า A มีขนาด m × n และ B มีขนาด n × p ผลคูณมีขนาด m × p โดย cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + … + aᵢₙbₙⱼ (แถว i ของ A คูณหลัก j ของ B) เช่น [1 2 3; 4 5 6] × [7 8; 9 10; 11 12] = [58 64; 139 154]

อัปเดต ใช้ฟรี ไม่ต้องสมัครคำนวณในเครื่องของคุณ

ต้องการคำนวณ
จำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วน เช่น 4, −0.5, 2/3
จำนวนเต็ม −20 ถึง 20 (n ติดลบใช้ A⁻¹, A⁰ = I)

เมื่อเปลี่ยนจำนวนหลักของ A จำนวนแถวของ B จะปรับตามให้คูณกันได้ · ใส่เศษส่วนเช่น -2/3 ได้ · ช่องว่างถือเป็น 0

ผลลัพธ์

วิธีใช้คูณเมทริกซ์

  1. เลือกโหมด A × B, k × A หรือ Aⁿ แล้วกำหนดขนาดของเมทริกซ์ (สูงสุด 6 × 6)
  2. กรอกสมาชิก (จำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วน) — สำหรับ A × B จำนวนหลักของ A ต้องเท่ากับจำนวนแถวของ B
  3. ดูผลคูณ ขนาดของผลลัพธ์ และวิธีทำแบบแถวคูณหลักของทุกตำแหน่ง กด “ใช้ผลลัพธ์เป็น A” เพื่อคูณต่อได้

สูตรการคูณเมทริกซ์

cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ

ถ้า A มีขนาด m × n และ B มีขนาด n × p (เลขตรงกลางต้องเท่ากัน) ผลคูณ C = AB มีขนาด m × p สมาชิกแถว i หลัก j ได้จากการนำแถวที่ i ของ A คูณกับหลักที่ j ของ B ทีละคู่แล้วบวกกัน (ผลคูณเชิงสเกลาร์ของแถวกับหลัก)

การดำเนินการเงื่อนไขขนาดผลลัพธ์
A × Bหลักของ A = แถวของ B(แถวของ A) × (หลักของ B)
k × Aทุกขนาดเท่ากับ A (คูณ k ทุกสมาชิก)
Aⁿ = A·A·…·AA ต้องเป็นจัตุรัสเท่ากับ A

ตัวอย่างการคำนวณ

โจทย์: A = [1 2 3; 4 5 6] (2 × 3), B = [7 8; 9 10; 11 12] (3 × 2) จงหา AB

  1. ตรวจขนาด: (2 × 3)(3 × 2) เลขกลางเท่ากัน จึงคูณได้ ผลลัพธ์มีขนาด 2 × 2
  2. c₁₁ = 1·7 + 2·9 + 3·11 = 7 + 18 + 33 = 58
  3. c₁₂ = 1·8 + 2·10 + 3·12 = 8 + 20 + 36 = 64
  4. c₂₁ = 4·7 + 5·9 + 6·11 = 28 + 45 + 66 = 139
  5. c₂₂ = 4·8 + 5·10 + 6·12 = 32 + 50 + 72 = 154

ดังนั้น AB = [58 64; 139 154] ส่วน BA จะมีขนาด 3 × 3 ซึ่งต่างจาก AB โดยสิ้นเชิง

สมบัติที่ต้องรู้ของการคูณเมทริกซ์

  • ไม่มีสมบัติการสลับที่ โดยทั่วไป AB ≠ BA บางครั้ง AB หาได้แต่ BA หาไม่ได้ด้วยซ้ำ
  • เปลี่ยนกลุ่มได้ (AB)C = A(BC) และแจกแจงได้ A(B + C) = AB + AC
  • เมทริกซ์เอกลักษณ์ AI = IA = A
  • ทรานสโพสกลับลำดับ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ และอินเวอร์ส (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
  • ดีเทอร์มิแนนต์ det(AB) = det(A)·det(B) และ det(kA) = kⁿ det(A) เมื่อ A มีขนาด n × n
  • AB = 0 ได้ แม้ A ≠ 0 และ B ≠ 0 จึงใช้กฎ “ผลคูณเป็นศูนย์แล้วตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นศูนย์” ไม่ได้

เมทริกซ์ยกกำลังใช้ทำอะไร

Aⁿ ใช้คำนวณระบบที่เปลี่ยนสถานะซ้ำ ๆ เช่น โซ่มาร์คอฟ (ความน่าจะเป็นหลัง n ขั้น) การเติบโตของประชากรแยกช่วงอายุ หรือจำนวนเส้นทางยาว n ก้าวในกราฟ ตัวอย่างคลาสสิกคือ [1 1; 1 0]ⁿ ซึ่งให้จำนวนฟีโบนักชี: [1 1; 1 0]¹⁰ = [89 55; 55 34]

คำถามที่พบบ่อย

เมทริกซ์ 2 × 3 คูณกับ 2 × 3 ได้ไหม

ไม่ได้ เพราะจำนวนหลักของตัวหน้า (3) ไม่เท่ากับจำนวนแถวของตัวหลัง (2) แต่ถ้าทรานสโพสตัวหลังเป็น 3 × 2 ก่อนจะคูณได้ และได้ผลลัพธ์ขนาด 2 × 2

ทำไม AB ไม่เท่ากับ BA

เพราะ AB ใช้แถวของ A คูณหลักของ B ส่วน BA ใช้แถวของ B คูณหลักของ A จึงเป็นการคำนวณคนละชุด แม้ทั้งสองเป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาดเดียวกันก็มักได้ผลต่างกัน โปรแกรมนี้ตรวจให้ว่า AB = BA หรือไม่เมื่อทั้งคู่เป็นจัตุรัส

คูณเมทริกซ์ 3 × 3 ต้องคูณกี่ครั้ง

แต่ละตำแหน่งใช้การคูณ 3 ครั้งและบวก 2 ครั้ง มีทั้งหมด 9 ตำแหน่ง จึงเป็นการคูณ 27 ครั้งและบวก 18 ครั้ง โดยทั่วไป (m × n)(n × p) ใช้การคูณ m·n·p ครั้ง

A⁰ และ A⁻² หมายถึงอะไร

A⁰ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ I ขนาดเดียวกับ A ส่วน A⁻² = (A⁻¹)² หาได้เฉพาะเมื่อ A มีอินเวอร์ส คือ det(A) ≠ 0

แหล่งอ้างอิง

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง