โปรแกรมหาแรงค์ของเมทริกซ์ (Rank of a Matrix)
แรงค์ (rank) คือจำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์หลังทำเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปขั้นบันได ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักตัวนำ (pivot) และจำนวนแถวหรือหลักที่อิสระเชิงเส้นมากที่สุด เมทริกซ์ m × n มี rank ≤ min(m, n) และ nullity = n − rank เช่น [1 2 −1 3; 2 4 1 0; 3 6 0 3] มี rank = 2 และ nullity = 2
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้หาแรงค์ของเมทริกซ์
- เลือกจำนวนแถวและหลักของเมทริกซ์ (สูงสุด 8 × 8) แล้วกรอกสมาชิก ใช้จำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วนได้
- เลือกวิธีลดรูป RREF (เกาส์-จอร์แดน) หรือ REF (กำจัดแบบเกาส์) ถ้าเป็นระบบสมการ ให้ติ๊กว่าหลักสุดท้ายเป็นค่าคงที่
- อ่านค่า rank, nullity, หลักตัวนำ และดูการดำเนินการตามแถวทุกขั้นพร้อมเมทริกซ์หลังแต่ละขั้น
หลักการหาแรงค์ด้วยการดำเนินการตามแถว
rank(A) = จำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์ในรูปขั้นบันได
การดำเนินการตามแถวเบื้องต้น 3 แบบไม่ทำให้แรงค์เปลี่ยน:
| การดำเนินการ | สัญลักษณ์ |
|---|---|
| สลับแถว i กับแถว j | Rᵢ ↔ Rⱼ |
| คูณแถว i ด้วยค่าคงที่ k ≠ 0 | Rᵢ → kRᵢ |
| บวกแถว i ด้วย k เท่าของแถว j | Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ |
ทฤษฎีบทแรงค์–ภาวะว่าง (rank–nullity): rank(A) + nullity(A) = n (จำนวนหลัก) และ rank(A) = rank(Aᵀ) เสมอ
ตัวอย่างการคำนวณ
โจทย์: หาแรงค์ของ A = [1 2 −1 3; 2 4 1 0; 3 6 0 3]
- R₂ → R₂ − 2R₁ ได้แถว 2 เป็น [0 0 3 −6]
- R₃ → R₃ − 3R₁ ได้แถว 3 เป็น [0 0 3 −6]
- R₂ → (1/3)R₂ ได้ [0 0 1 −2] แล้ว R₁ → R₁ + R₂ และ R₃ → R₃ − 3R₂
- ได้ RREF = [1 2 0 1; 0 0 1 −2; 0 0 0 0] มีแถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว
ดังนั้น rank(A) = 2 หลักตัวนำคือหลักที่ 1 และ 3, nullity = 4 − 2 = 2
แรงค์บอกอะไรเรา
- เมทริกซ์จัตุรัส n × n มีอินเวอร์ส ก็ต่อเมื่อ rank = n (เรียกว่าแรงค์เต็ม) ซึ่งสมมูลกับ det ≠ 0
- ความอิสระเชิงเส้น เวกเตอร์หลักทั้ง n หลักอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ rank = n
- ระบบสมการ Ax = b (ทฤษฎีบทรูเช–กาเปลลี): ถ้า rank(A) < rank([A | b]) ไม่มีคำตอบ ถ้าเท่ากันและ = จำนวนตัวแปร มีคำตอบเดียว ถ้าเท่ากันแต่น้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีคำตอบมากมายไม่จำกัด โดยมีตัวแปรอิสระ n − rank ตัว
REF กับ RREF ต่างกันอย่างไร
รูปขั้นบันได (REF) ต้องการแค่ให้ตัวนำของแต่ละแถวอยู่ขวากว่าแถวบน และใต้ตัวนำเป็นศูนย์ ส่วนรูปขั้นบันไดแบบลดรูป (RREF) ต้องการเพิ่มว่าตัวนำทุกตัวเป็น 1 และเป็นสมาชิกตัวเดียวที่ไม่เป็นศูนย์ในหลักนั้น REF ของเมทริกซ์หนึ่งมีได้หลายแบบ แต่ RREF มีแบบเดียว ทั้งสองแบบให้ rank เท่ากัน REF ใช้ขั้นตอนน้อยกว่าเมื่อต้องการแค่ rank ส่วน RREF ช่วยอ่านคำตอบของระบบสมการได้ทันที
คำถามที่พบบ่อย
แรงค์ของเมทริกซ์ศูนย์เท่ากับเท่าไร
เท่ากับ 0 เพราะไม่มีแถวที่ไม่เป็นศูนย์เลย เมทริกซ์ที่มีสมาชิกไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวจะมีแรงค์อย่างน้อย 1
แรงค์มากที่สุดได้เท่าไร
ไม่เกินค่าที่น้อยกว่าระหว่างจำนวนแถวกับจำนวนหลัก เช่น เมทริกซ์ 3 × 5 มีแรงค์ได้ไม่เกิน 3
หาแรงค์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ได้ไหม
ได้ แรงค์คือขนาดของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ แต่ต้องตรวจเมทริกซ์ย่อยจำนวนมาก การดำเนินการตามแถวจึงเร็วกว่าและนิยมใช้มากกว่า
nullity คืออะไร
คือมิติของปริภูมิศูนย์ (เซตคำตอบของ Ax = 0) เท่ากับจำนวนหลักลบแรงค์ หรือจำนวนตัวแปรอิสระในระบบสมการเอกพันธ์