โปรแกรมแก้สมการพหุนาม (Polynomial Equation Solver) ดีกรี 1–8
สมการพหุนามดีกรี n aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0 มีราก n ค่าเสมอเมื่อนับรากซ้ำและจำนวนเชิงซ้อน (ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต) โปรแกรมหารากตรรกยะด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือและหารสังเคราะห์ ส่วนที่เหลือใช้วิธีเชิงตัวเลข เช่น x⁵ − 2x³ + 2x² − 3x + 2 = 0 แยกได้ (x + 2)(x − 1)²(x² + 1) = 0 ราก x = −2, 1 (ซ้ำ), ±i
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้แก้สมการพหุนาม
- พิมพ์พหุนามในช่อง เช่น x^5 − 2x^3 + 2x^2 − 3x + 2 หรือรูปผลคูณ (x−1)²(x+3) หรือเลือก “กรอกสัมประสิทธิ์” แล้วเลือกดีกรี
- อ่านรากทุกค่าพร้อมพหุคูณ รูปแบบแม่นตรง และรูปแยกตัวประกอบในกล่องผลลัพธ์
- ดูวิธีทำ (ตารางลองราก หารสังเคราะห์ สูตรกำลังสอง) ตารางตรวจราก และกราฟที่ทำเครื่องหมายจุดตัดแกน x
หลักการหารากของพหุนาม
aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ = 0
- ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต: พหุนามดีกรี n มีรากในจำนวนเชิงซ้อน n ค่าพอดี (นับพหุคูณ) และรากเชิงซ้อนของพหุนามสัมประสิทธิ์จริงมาเป็นคู่สังยุคเสมอ
- ทฤษฎีบทรากตรรกยะ: ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม รากตรรกยะ p/q ต้องมี p หาร a₀ และ q หาร aₙ ลงตัว
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ / ตัวประกอบ: P(r) = 0 ก็ต่อเมื่อ (x − r) เป็นตัวประกอบของ P(x) ใช้หารสังเคราะห์ลดดีกรีลงทีละ 1
- ความสัมพันธ์ของราก (Vieta): ผลบวกราก = −aₙ₋₁/aₙ และผลคูณราก = (−1)ⁿ a₀/aₙ
เมื่อเหลือพหุนามที่ไม่มีรากตรรกยะและดีกรีเกิน 2 โปรแกรมใช้วิธีเชิงตัวเลข Durand–Kerner แล้วขัดเกลาด้วยวิธีของ Newton ซึ่งหารากเชิงซ้อนได้ทุกค่าพร้อมกัน
ตัวอย่างการคำนวณ
แก้สมการ x⁵ − 2x³ + 2x² − 3x + 2 = 0
- รากตรรกยะที่เป็นไปได้: ±1, ±2 ลอง P(1) = 1 − 2 + 2 − 3 + 2 = 0 ✓ หารสังเคราะห์ด้วย 1 ได้ x⁴ + x³ − x² + x − 2
- ลอง x = 1 อีกครั้ง: 1 + 1 − 1 + 1 − 2 = 0 ✓ หารสังเคราะห์ได้ x³ + 2x² + x + 2
- ลอง x = −2: −8 + 8 − 2 + 2 = 0 ✓ หารสังเคราะห์ได้ x² + 1
- x² + 1 = 0 → x = ±i
ดังนั้น P(x) = (x − 1)²(x + 2)(x² + 1) ราก x = 1 (ซ้ำ 2), −2, i, −i ตรวจ Vieta: ผลบวกราก 1 + 1 − 2 + i − i = 0 = −a₄/a₅ ✓
รูปแบบที่พิมพ์ได้
| พิมพ์ | ความหมาย |
|---|---|
| x^3 - 6x^2 + 11x - 6 | ใช้ ^ เป็นเลขชี้กำลัง |
| 2x² + 3x − 5 | ใช้ตัวยก ² ³ ได้ |
| (x-1)^2(x+3)(x^2+4) | ผลคูณของวงเล็บ โปรแกรมกระจายให้ |
| x^3 + 2x = 5x - 1 | สมการสองฝั่ง โปรแกรมย้ายข้างให้ |
| x/2 + 1/3 | หารด้วยตัวเลขได้ (เศษส่วน) |
พหุคูณของรากและกราฟ
รากที่มีพหุคูณเป็นเลขคี่ (เช่น รากธรรมดา หรือซ้ำ 3) กราฟจะตัดผ่านแกน x ส่วนรากที่มีพหุคูณเป็นเลขคู่ (ซ้ำ 2, 4) กราฟจะแตะแกน x แล้วเด้งกลับ ดังนั้นถ้านับจุดตัดแกน x ได้น้อยกว่าดีกรี ส่วนที่หายไปคือรากซ้ำหรือรากเชิงซ้อน
คำถามที่พบบ่อย
พหุนามดีกรี 5 ขึ้นไปมีสูตรหารากไหม
ไม่มีสูตรทั่วไปที่ใช้รากที่ n ได้ (ทฤษฎีบทของ Abel–Ruffini) จึงต้องหารากตรรกยะด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือก่อน ส่วนที่เหลือใช้วิธีเชิงตัวเลข ซึ่งโปรแกรมนี้ทำให้ทั้งสองขั้น
ทำไมรากเชิงซ้อนถึงมาเป็นคู่
เพราะสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ถ้า z เป็นรากแล้ว สังยุค z̄ จะเป็นรากด้วย และ (x − z)(x − z̄) = x² − 2Re(z)x + |z|² เป็นพหุนามกำลังสองสัมประสิทธิ์จริง จึงแยกตัวประกอบบนจำนวนจริงได้เสมอ
คำตอบเชิงตัวเลขแม่นแค่ไหน
โดยทั่วไปถูกต้องถึงทศนิยม 9 ตำแหน่งขึ้นไป โปรแกรมแสดงค่า |P(x)| ที่รากในตารางเพื่อยืนยัน ถ้ารากซ้ำหลายชั้น ความแม่นยำจะลดลงบ้างตามธรรมชาติของวิธีเชิงตัวเลข
กรอกเศษส่วนเป็นสัมประสิทธิ์ได้ไหม
ได้ แต่ควรคูณสมการตลอดให้เป็นจำนวนเต็มก่อน เพราะวิธีหารากตรรกยะและหารสังเคราะห์แบบแม่นตรงใช้กับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มเท่านั้น