สมการและพีชคณิต

โปรแกรมแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)

สมการกำลังสาม ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0) มีคำตอบ 3 ค่าเสมอเมื่อนับจำนวนเชิงซ้อนและรากซ้ำ วิธีตามหลักสูตรคือหารากตรรกยะ ±p/q ด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ แล้วหารสังเคราะห์ให้เหลือสมการกำลังสอง เช่น x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 ได้ (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 คำตอบคือ x = 1, 2, 3

อัปเดต ใช้ฟรี ไม่ต้องสมัครคำนวณในเครื่องของคุณ

กรอกเครื่องหมายลบได้ เช่น −6 และพิมพ์เศษส่วน 1/2 ได้ · ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด โปรแกรมจะแสดงวิธีหารสังเคราะห์ตามแบบเรียน

ผลลัพธ์

วิธีใช้สมการกำลังสาม

  1. จัดสมการให้อยู่ในรูป ax³ + bx² + cx + d = 0 แล้วกรอก a, b, c, d (ถ้าไม่มีพจน์ใดให้ใส่ 0)
  2. อ่านคำตอบทั้ง 3 ค่า รูปแบบแม่นตรง และรูปแยกตัวประกอบในกล่องผลลัพธ์
  3. ดูวิธีทำทีละขั้น: ตารางลองแทนค่า ตารางหารสังเคราะห์ การแก้สมการกำลังสองที่เหลือ และกราฟ

วิธีแก้สมการกำลังสามตามหลักสูตร

ax³ + bx² + cx + d = 0 → (x − r)(Ax² + Bx + C) = 0

  1. ทฤษฎีบทรากตรรกยะ: ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม รากตรรกยะต้องอยู่ในรูป ±p/q โดย p หาร d ลงตัว และ q หาร a ลงตัว
  2. ทฤษฎีบทเศษเหลือ: แทนค่าที่เป็นไปได้ลงใน P(x) ถ้า P(r) = 0 แสดงว่า (x − r) เป็นตัวประกอบ
  3. หารสังเคราะห์: หาร P(x) ด้วย (x − r) ได้ผลหารเป็นพหุนามกำลังสอง
  4. แก้สมการกำลังสองที่เหลือด้วยการแยกตัวประกอบหรือสูตร x = (−B ± √(B² − 4AC)) ÷ 2A

ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสาม Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² บอกชนิดของราก: Δ > 0 รากจริง 3 ค่าต่างกัน, Δ = 0 มีรากซ้ำ, Δ < 0 รากจริง 1 ค่าและเชิงซ้อน 2 ค่า

ความสัมพันธ์ของราก (Vieta): x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = −d/a

ตัวอย่างการคำนวณ

แก้สมการ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

  1. รากตรรกยะที่เป็นไปได้: p หาร 6 → {1, 2, 3, 6}, q หาร 1 → {1} จึงลอง ±1, ±2, ±3, ±6
  2. P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓ ดังนั้น (x − 1) เป็นตัวประกอบ
  3. หารสังเคราะห์ด้วย 1: สัมประสิทธิ์ 1, −6, 11, −6 → นำ 1 ลง, 1×1 + (−6) = −5, −5×1 + 11 = 6, 6×1 + (−6) = 0 ได้ผลหาร x² − 5x + 6
  4. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2, 3

ดังนั้น (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 คำตอบคือ x = 1, 2, 3 และ Δ = 4 > 0 สอดคล้องกับการมีรากจริง 3 ค่าต่างกัน

ถ้าไม่มีรากตรรกยะจะทำอย่างไร

สมการอย่าง x³ − x − 1 = 0 ลองแทน ±1 แล้วไม่ได้ 0 แสดงว่าไม่มีรากตรรกยะ ในระดับมหาวิทยาลัยใช้สูตรของ Cardano: แทน x = t − b/3a ให้ได้สมการลดรูป t³ + pt + q = 0 แล้ว

  • ถ้า (q/2)² + (p/3)³ > 0 มีรากจริงค่าเดียว t = ∛(−q/2 + √Δ′) + ∛(−q/2 − √Δ′)
  • ถ้า (q/2)² + (p/3)³ < 0 มีรากจริง 3 ค่า หาด้วยวิธีตรีโกณมิติ t = 2√(−p/3)·cos(φ/3 − 2πk/3)

โปรแกรมนี้แสดงทั้งสองวิธีให้อัตโนมัติเมื่อหารากตรรกยะไม่ได้

ข้อควรระวังในการหารสังเคราะห์

  • ต้องเขียนสัมประสิทธิ์ให้ครบทุกกำลัง ถ้าไม่มีพจน์ใดให้ใส่ 0 เช่น x³ − 8 ต้องเขียนเป็น 1, 0, 0, −8
  • ตัวเลขที่ใช้หารคือค่า r จากตัวประกอบ (x − r) ดังนั้นตัวประกอบ (x + 2) ใช้ r = −2
  • ถ้ารากเป็นเศษส่วน p/q ผลหารจะมีสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน ให้คูณตลอดด้วย q เพื่อเขียนตัวประกอบเป็น (qx − p)
  • เศษเหลือตัวสุดท้ายต้องเป็น 0 ถ้าไม่ใช่แสดงว่าค่าที่ลองไม่ใช่ราก (นั่นคือค่า P(r) ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ)

คำถามที่พบบ่อย

สมการกำลังสามมีคำตอบกี่ค่า

มี 3 ค่าเสมอเมื่อนับจำนวนเชิงซ้อนและรากซ้ำ และจะมีรากจริงอย่างน้อย 1 ค่าเสมอ เพราะกราฟกำลังสามต้องตัดแกน x อย่างน้อยหนึ่งจุด

ทฤษฎีบทเศษเหลือคืออะไร

เมื่อหารพหุนาม P(x) ด้วย (x − r) เศษเหลือจะเท่ากับ P(r) ดังนั้นถ้า P(r) = 0 แสดงว่า (x − r) หาร P(x) ลงตัว และ r เป็นคำตอบของสมการ P(x) = 0

ใส่สัมประสิทธิ์เป็นทศนิยมได้ไหม

ได้ แต่วิธีหารสังเคราะห์ตามแบบเรียนใช้กับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ถ้าใส่ทศนิยมโปรแกรมจะใช้สูตรของ Cardano/วิธีตรีโกณมิติแทน แนะนำให้คูณสมการตลอดให้เป็นจำนวนเต็มก่อน เช่น 0.5x³ − x = 0 คูณ 2 เป็น x³ − 2x = 0

ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสามใช้บอกอะไร

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² ถ้า Δ > 0 มีรากจริง 3 ค่าต่างกัน, Δ = 0 มีรากซ้ำ, Δ < 0 มีรากจริงเพียง 1 ค่าและอีก 2 ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคกัน

แหล่งอ้างอิง

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง