โปรแกรมแก้สมการกำลังสี่ (Quartic Equation)
สมการกำลังสี่ ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 มีคำตอบ 4 ค่าเสมอเมื่อนับจำนวนเชิงซ้อนและรากซ้ำ ถ้าไม่มีพจน์ x³ และ x ให้แทน y = x² แล้วแก้สมการกำลังสอง เช่น x⁴ − 5x² + 4 = 0 → y² − 5y + 4 = 0 → y = 1, 4 → x = ±1, ±2 กรณีทั่วไปใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือและหารสังเคราะห์ลดกำลังลงทีละขั้น
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้สมการกำลังสี่
- จัดสมการให้อยู่ในรูป ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 แล้วกรอกสัมประสิทธิ์ทั้ง 5 ค่า (พจน์ที่ไม่มีใส่ 0)
- อ่านคำตอบทั้ง 4 ค่า รูปแบบแม่นตรง (เช่น ±√2, 1 ± i) และรูปแยกตัวประกอบ
- ดูวิธีทำทีละขั้นที่โปรแกรมเลือกให้เหมาะกับสมการ พร้อมกราฟที่ทำเครื่องหมายจุดตัดแกน x
วิธีแก้สมการกำลังสี่
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0
| ลักษณะสมการ | วิธีแก้ |
|---|---|
| ไม่มีพจน์ x³ และ x (ax⁴ + cx² + e = 0) | แทน y = x² ได้ ay² + cy + e = 0 แก้ด้วยสูตรกำลังสอง แล้วถอดราก x = ±√y |
| สัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม มีรากตรรกยะ | ลอง ±p/q (p หาร e, q หาร a) ด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ แล้วหารสังเคราะห์จนเหลือกำลังสอง |
| ไม่มีรากตรรกยะ | ลองแยกเป็น (x² + px + q)(x² + rx + s) สัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หรือใช้วิธีของ Ferrari / วิธีเชิงตัวเลข |
ความสัมพันธ์ของราก: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −b/a และ x₁x₂x₃x₄ = e/a ใช้ตรวจคำตอบได้
ตัวอย่างการคำนวณ
แก้สมการ x⁴ − 5x² + 4 = 0
- ไม่มีพจน์ x³ และ x ให้ y = x² จะได้ y² − 5y + 4 = 0
- แยกตัวประกอบ (y − 1)(y − 4) = 0 → y = 1 หรือ y = 4
- x² = 1 → x = ±1 และ x² = 4 → x = ±2
ดังนั้น (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) = 0 คำตอบคือ x = −2, −1, 1, 2 ตรวจสอบ: ผลคูณราก (−2)(−1)(1)(2) = 4 = e/a ✓
อีกตัวอย่าง: x⁴ + 4 = 0 ไม่มีรากจริงและรากตรรกยะ แต่แยกได้เป็น (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) = 0 ได้ x = −1 ± i และ 1 ± i
กราฟของฟังก์ชันกำลังสี่
ถ้า a > 0 ปลายกราฟทั้งสองข้างชี้ขึ้น (รูปตัว W หรือ U) ถ้า a < 0 ชี้ลง กราฟตัดแกน x ได้ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 จุด ซึ่งคือจำนวนรากจริง (นับรากซ้ำที่กราฟแตะแกนเป็น 1 จุด) จำนวนรากจริงเป็นเลขคู่เสมอเมื่อนับรากซ้ำ เพราะรากเชิงซ้อนมาเป็นคู่สังยุค
ทำไมโปรแกรมไม่แสดงสูตรของ Ferrari
สูตรของ Ferrari ให้คำตอบแม่นตรงของสมการกำลังสี่ทุกสมการ แต่ต้องแก้สมการกำลังสามช่วย (resolvent cubic) และผลลัพธ์มักเป็นรากซ้อนหลายชั้นที่อ่านยาก ในหลักสูตรมัธยมใช้เพียงการแทน y = x², ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการแยกตัวประกอบ โปรแกรมจึงแสดงวิธีเหล่านี้ และใช้วิธีเชิงตัวเลขเมื่อแยกตัวประกอบด้วยจำนวนตรรกยะไม่ได้
คำถามที่พบบ่อย
สมการกำลังสี่มีคำตอบกี่ค่า
มี 4 ค่าเสมอเมื่อนับรากซ้ำและจำนวนเชิงซ้อน (ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต) แต่จำนวนรากจริงอาจเป็น 0, 2 หรือ 4 ค่า (นับรากซ้ำ)
สมการกำลังสองซ้อนคืออะไร
คือสมการกำลังสี่ที่มีเฉพาะพจน์ x⁴, x² และค่าคงที่ เช่น x⁴ − 5x² + 4 = 0 แก้โดยแทน y = x² ให้กลายเป็นสมการกำลังสอง แล้วถอดรากที่สองกลับเป็น x
ถ้าลองแทนค่าทุกตัวแล้วไม่ได้ 0 ต้องทำอย่างไร
แสดงว่าไม่มีรากตรรกยะ ให้ลองแยกเป็นผลคูณของพหุนามกำลังสองสองวงเล็บที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เช่น x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) ถ้ายังไม่ได้ต้องใช้วิธีของ Ferrari หรือวิธีเชิงตัวเลข ซึ่งโปรแกรมทำให้อัตโนมัติ