แก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว พร้อมวิธีทำ ช่วงคำตอบ และเส้นจำนวน

วิธีใช้อสมการเชิงเส้น

เลือกรูปแบบ: อสมการสองข้าง ax + b ⋈ cx + d หรืออสมการประกอบ p ⋈ ax + b ⋈ q
กรอกสัมประสิทธิ์และเลือกเครื่องหมาย (<, ≤, >, ≥) ใส่ค่าลบหรือเศษส่วนได้
อ่านเซตคำตอบในรูปช่วง เซต และเส้นจำนวน พร้อมวิธีทำที่ชี้จุดที่ต้องกลับเครื่องหมาย

สมบัติของอสมการที่ใช้แก้

ax + b ⋈ cx + d → (a − c)x ⋈ d − b → x ⋈ (d − b)/(a − c)

การกระทำ	เครื่องหมาย
บวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง	คงเดิม
คูณหรือหารด้วยจำนวนบวก	คงเดิม
คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ	กลับด้าน (< ↔ >, ≤ ↔ ≥)
สลับข้างอสมการ	กลับด้าน (a < b เท่ากับ b > a)

อสมการประกอบ p < ax + b < q หมายถึง p < ax + b และ ax + b < q พร้อมกัน จึงทำกับทั้งสามส่วนเท่า ๆ กัน และถ้าหารด้วยจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมายทั้งสองตัวแล้วสลับขอบ

คำตอบ	ช่วง	เซต	เส้นจำนวน
x > a	(a, ∞)	{x \| x > a}	วงกลมกลวงที่ a ระบายไปทางขวา
x ≤ a	(−∞, a]	{x \| x ≤ a}	วงกลมทึบที่ a ระบายไปทางซ้าย
a < x ≤ b	(a, b]	{x \| a < x ≤ b}	กลวงที่ a ทึบที่ b ระบายระหว่างกลาง

ตัวอย่างการคำนวณ

แก้อสมการ 2x + 3 ≤ 5x + 12

ย้าย 5x ไปฝั่งซ้าย: 2x − 5x + 3 ≤ 12 → −3x + 3 ≤ 12
ย้าย 3 ไปฝั่งขวา: −3x ≤ 9
หารด้วย −3 ซึ่งเป็นจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมาย: x ≥ −3

เซตคำตอบ {x ∈ ℝ | x ≥ −3} หรือช่วง [−3, ∞) ตรวจสอบด้วย x = 0: 3 ≤ 12 จริง ✓

อสมการประกอบ −1 < 2x + 3 ≤ 7: ลบ 3 ทุกส่วน −4 < 2x ≤ 4 → หารด้วย 2 ได้ −2 < x ≤ 2 ช่วง (−2, 2]

กรณีพิเศษ: จริงเสมอ หรือไม่มีคำตอบ

ถ้าสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างเท่ากัน x จะหักล้างกันหมด เหลือการเปรียบเทียบค่าคงที่ เช่น 2x + 1 ≥ 2x − 3 กลายเป็น 1 ≥ −3 ซึ่งจริงเสมอ คำตอบคือจำนวนจริงทุกตัว (−∞, ∞) แต่ 2x + 1 < 2x − 3 กลายเป็น 1 < −3 ซึ่งเท็จ จึงไม่มีคำตอบ (เซตว่าง ∅) ส่วนอสมการประกอบอาจไม่มีคำตอบเมื่อขอบล่างมากกว่าขอบบน เช่น 5 < x < 2

ทำไมหารด้วยจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมาย

ลองดู 2 < 4 ซึ่งจริง ถ้าคูณทั้งสองข้างด้วย −1 ได้ −2 กับ −4 บนเส้นจำนวน −2 อยู่ทางขวาของ −4 ดังนั้น −2 > −4 เครื่องหมายต้องกลับด้านเพื่อให้ยังเป็นจริง การคูณด้วยจำนวนลบคือการสะท้อนเส้นจำนวนรอบศูนย์ จึงสลับลำดับมากน้อยเสมอ

คำถามที่พบบ่อย

วงกลมทึบกับวงกลมกลวงบนเส้นจำนวนต่างกันอย่างไร

วงกลมทึบหมายถึงรวมจุดนั้นด้วย (เครื่องหมาย ≤ หรือ ≥ ใช้วงเล็บเหลี่ยม [ ]) ส่วนวงกลมกลวงหมายถึงไม่รวมจุดนั้น (เครื่องหมาย < หรือ > ใช้วงเล็บโค้ง ( )) ส่วน ∞ ใช้วงเล็บโค้งเสมอ

x ≥ −3 เขียนเป็นช่วงอย่างไร

เขียนว่า [−3, ∞) ใช้วงเล็บเหลี่ยมที่ −3 เพราะรวม −3 และวงเล็บโค้งที่ ∞ เสมอ

อสมการ 3 > x > −1 กรอกอย่างไร

เขียนกลับด้านให้เรียงจากน้อยไปมากก่อน เป็น −1 < x < 3 แล้วกรอก p = −1, a = 1, b = 0, q = 3 ในโหมดอสมการประกอบ

แหล่งอ้างอิง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)