โปรแกรมคำนวณดิสคริมิแนนต์ (Discriminant) สมการกำลังสองและกำลังสาม
ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0 คือ D = b² − 4ac ถ้า D > 0 มีรากจริง 2 ค่า (กราฟตัดแกน x สองจุด), D = 0 มีรากซ้ำ (กราฟแตะแกน x), D < 0 ไม่มีรากจริง (กราฟไม่ตัดแกน x) เช่น x² − 5x + 6 = 0 ได้ D = 25 − 24 = 1 > 0 และเป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากจึงเป็นจำนวนตรรกยะ 2 และ 3
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ดิสคริมิแนนต์
- เลือกชนิดสมการ (กำลังสองหรือกำลังสาม) แล้วกรอกสัมประสิทธิ์ ใส่ค่าลบได้
- อ่านค่า D (หรือ Δ) ชนิดของราก และค่ารากในกล่องผลลัพธ์
- ดูวิธีคิดการแทนค่าในสูตรทีละขั้น และกราฟที่แสดงตำแหน่งจุดตัดแกน x
สูตรดิสคริมิแนนต์
D = b² − 4ac
| ค่า D | ชนิดของราก | กราฟพาราโบลา |
|---|---|---|
| D > 0 | รากจริง 2 ค่าต่างกัน | ตัดแกน x สองจุด |
| D = 0 | รากจริง 1 ค่า (รากซ้ำ) x = −b/2a | แตะแกน x จุดเดียว (จุดยอดอยู่บนแกน x) |
| D < 0 | ไม่มีรากจริง ได้จำนวนเชิงซ้อนสังยุคกัน | ไม่ตัดแกน x (อยู่เหนือแกนทั้งหมดถ้า a > 0 หรือใต้แกนถ้า a < 0) |
| D เป็นกำลังสองสมบูรณ์ | รากเป็นจำนวนตรรกยะ แยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มได้ | — |
สมการกำลังสาม ax³ + bx² + cx + d = 0 มีดิสคริมิแนนต์ Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² ถ้า Δ > 0 รากจริง 3 ค่าต่างกัน, Δ = 0 มีรากซ้ำ, Δ < 0 รากจริง 1 ค่าและเชิงซ้อน 2 ค่า
ตัวอย่างการคำนวณ
หา D ของ x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6
D = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1 → D > 0 รากจริง 2 ค่า และ 1 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากจึงเป็นจำนวนตรรกยะ x = (5 ± 1)/2 = 2, 3
หา D ของ x² + 2x + 5 = 0: D = 4 − 20 = −16 → ไม่มีรากจริง กราฟหงายขึ้นและอยู่เหนือแกน x ทั้งหมด รากเชิงซ้อนคือ −1 ± 2i
หา Δ ของ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: Δ = 18(1)(−6)(11)(−6) − 4(−6)³(−6) + (−6)²(11)² − 4(1)(11)³ − 27(1)²(−6)² = 7,128 − 5,184 + 4,356 − 5,324 − 972 = 4 > 0 จึงมีรากจริง 3 ค่าต่างกัน (x = 1, 2, 3)
ดิสคริมิแนนต์ใช้ทำอะไรได้อีก
- หาค่า k ที่ทำให้สมการมีรากซ้ำ: ตั้ง D = 0 แล้วแก้สมการใน k เช่น x² + kx + 9 = 0 มีรากซ้ำเมื่อ k² − 36 = 0 → k = ±6
- ตรวจว่าแยกตัวประกอบได้ไหม: ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและ D เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (0, 1, 4, 9, 16, …) จะแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มได้
- บอกเครื่องหมายของฟังก์ชัน: ถ้า D < 0 และ a > 0 แสดงว่า ax² + bx + c > 0 ทุกค่า x ใช้แก้อสมการกำลังสองได้
- เส้นตรงกับวงกลม/พาราโบลา: แทนสมการเส้นตรงลงในเส้นโค้งแล้วดู D ถ้า D = 0 เส้นตรงสัมผัสเส้นโค้ง
คำถามที่พบบ่อย
D ติดลบแปลว่าอะไร
แปลว่าสมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เพราะต้องถอดรากที่สองของจำนวนลบ กราฟพาราโบลาจึงไม่ตัดแกน x แต่ในระบบจำนวนเชิงซ้อนยังมีคำตอบ 2 ค่าที่เป็นสังยุคกัน
D = 0 มีรากกี่ค่า
มีรากจริงค่าเดียวคือ x = −b/2a แต่นับเป็นรากซ้ำ 2 ค่า (พหุคูณ 2) กราฟจะแตะแกน x ที่จุดยอดพอดี
ทำไมต้องเช็กว่า D เป็นกำลังสองสมบูรณ์
เพราะ √D จะเป็นจำนวนเต็ม ทำให้รากเป็นเศษส่วนหรือจำนวนเต็ม และสมการแยกตัวประกอบเป็นวงเล็บสองวงเล็บที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ ซึ่งเร็วกว่าการใช้สูตร