โปรแกรมคำนวณผลรวมของอนุกรม (Sum of Series) สัญลักษณ์ซิกมา Σ
ผลรวมของอนุกรมเขียนด้วยสัญลักษณ์ซิกมา Σ มีสูตรปิดที่ใช้บ่อย: Σk = n(n + 1)/2, Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6, Σk³ = [n(n + 1)/2]² (k = 1 ถึง n) เช่น 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5,050 และ 1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ผลรวมของอนุกรม
- เลือกชนิดอนุกรม: Σk, Σk², Σk³, อนุกรมเลขคณิต, เรขาคณิต หรือพิมพ์ f(k) เอง
- กรอกขอบเขต m ถึง n (หรือ a₁, d/r, n สำหรับอนุกรมเลขคณิต/เรขาคณิต)
- อ่านผลรวม วิธีทำจากสูตรปิด ตารางผลบวกย่อยของพจน์แรก ๆ และกราฟ
สูตรผลรวมที่ควรจำ
| อนุกรม | สูตรปิด | ตัวอย่าง n = 10 |
|---|---|---|
| Σk=1n k = 1 + 2 + … + n | n(n + 1)/2 | 55 |
| Σk=1n k² = 1² + 2² + … + n² | n(n + 1)(2n + 1)/6 | 385 |
| Σk=1n k³ = 1³ + 2³ + … + n³ | [n(n + 1)/2]² | 3,025 |
| Σk=1n c (ค่าคงที่) | nc | 10c |
| อนุกรมเลขคณิต | n/2 [2a₁ + (n − 1)d] | — |
| อนุกรมเรขาคณิต | a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) | — |
สมบัติของ Σ: Σ(aₖ + bₖ) = Σaₖ + Σbₖ และ Σ c·aₖ = c·Σaₖ จึงแยก Σ(2k² + 3k − 1) = 2Σk² + 3Σk − Σ1 แล้วใช้สูตรปิดแต่ละตัว ส่วนผลรวมที่เริ่มที่ m > 1 ใช้ Σk=mn = Σk=1n − Σk=1m−1
ตัวอย่างการคำนวณ
หา 1 + 2 + 3 + … + 100: Σk = n(n + 1)/2 = 100 × 101 ÷ 2 = 5,050
หา 5² + 6² + … + 10²: Σk=110 k² − Σk=14 k² = 385 − 30 = 355
หา Σk=1100 1/(k(k + 1)): เป็นอนุกรมหดตัว (telescoping) เพราะ 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1) พจน์ตัดกันเหลือ 1 − 1/101 = 100/101 ≈ 0.990099 (โปรแกรมบวกตรง ๆ 100 พจน์ได้ค่าเดียวกัน)
การพิสูจน์สูตร Σk² อย่างย่อ
ใช้เอกลักษณ์ (k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1 บวกตั้งแต่ k = 1 ถึง n ฝั่งซ้ายหดตัวเหลือ (n + 1)³ − 1 ฝั่งขวาคือ 3Σk² + 3Σk + n แทน Σk = n(n + 1)/2 แล้วแก้สมการหา Σk² จะได้ n(n + 1)(2n + 1)/6 วิธีเดียวกันนี้ใช้หา Σk³ ได้จาก (k + 1)⁴ − k⁴
ตัวอย่างนิพจน์ f(k) ที่พิมพ์ได้
| พิมพ์ | ความหมาย |
|---|---|
| 2k+1 | จำนวนคี่ 3 + 5 + 7 + … |
| 1/k^2 | อนุกรมบาเซิล ลู่เข้า π²/6 ≈ 1.6449 |
| (-1)^(k+1)/k | อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ ลู่เข้า ln 2 |
| 1/(2^k) | 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ลู่เข้า 1 |
| k*(k+1)/2 | จำนวนสามเหลี่ยม |
| sqrt(k) | √1 + √2 + √3 + … |
คำถามที่พบบ่อย
Σ อ่านว่าอะไร ใช้อย่างไร
อ่านว่า "ซิกมา" แทนการบวกทุกพจน์ตั้งแต่ค่าเริ่มต้นใต้สัญลักษณ์ถึงค่าสุดท้ายบนสัญลักษณ์ เช่น Σ (k = 1 ถึง 4) ของ k² คือ 1 + 4 + 9 + 16 = 30
ผลรวม 1 ถึง 1,000,000 คือเท่าไร
ใช้สูตร n(n + 1)/2 = 1,000,000 × 1,000,001 ÷ 2 = 500,000,500,000 โปรแกรมคำนวณด้วยจำนวนเต็มแม่นตรง ไม่ปัดเศษแม้ตัวเลขจะใหญ่มาก
ผลรวมที่พิมพ์เองคำนวณได้กี่พจน์
สูงสุด 100,000 พจน์ โดยโปรแกรมแทนค่า k ทีละตัวแล้วบวกจริง จึงใช้ได้กับ f(k) ทุกแบบที่เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์คำนวณได้ รวมทั้งฟังก์ชันตรีโกณมิติและลอการิทึม
อนุกรมอนันต์หาผลรวมได้ไหม
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่ |r| < 1 มีสูตร S∞ = a₁/(1 − r) ส่วนอนุกรมทั่วไปให้ลองเพิ่ม n ให้มากแล้วดูว่าผลบวกย่อยเข้าใกล้ค่าใด เช่น Σ 1/k² เข้าใกล้ 1.6449