สมการและพีชคณิตใหม่

โปรแกรมคำนวณลำดับและอนุกรมเรขาคณิต (Geometric Progression)

ลำดับเรขาคณิตคือลำดับที่พจน์ถัดไปได้จากการคูณอัตราส่วนร่วม r คงที่ พจน์ที่ n คือ aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ ผลบวก n พจน์แรก Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1) และถ้า |r| < 1 ผลบวกอนันต์ S∞ = a₁/(1 − r) เช่น a₁ = 2, r = 3 ได้ a₈ = 2 × 3⁷ = 4,374 และ S₈ = 2(3⁸ − 1)/2 = 6,560

อัปเดต ใช้ฟรี ไม่ต้องสมัครคำนวณในเครื่องของคุณ

ต้องการหาอะไร
พิมพ์เศษส่วนได้ เช่น 1/2 หรือ −0.5

ช่องตัวเลขพิมพ์สูตรได้ เช่น 25000*12 · ผลลัพธ์อัปเดตทันทีเมื่อแก้ตัวเลข

ผลลัพธ์

วิธีใช้ลำดับเรขาคณิต

  1. เลือกโจทย์: หาพจน์ที่ n และผลบวก, หา r กับ a₁ จากสองพจน์ที่รู้, หรือหาว่าค่าหนึ่งเป็นพจน์ที่เท่าไร
  2. กรอกพจน์แรก อัตราส่วนร่วม (พิมพ์ 1/2 หรือ −0.5 ได้) และจำนวนพจน์
  3. อ่าน aₙ, Sₙ, S∞ (ถ้ามี) ตารางพจน์แรก ๆ พร้อมค่าแม่นตรง และกราฟในกล่องผลลัพธ์

สูตรลำดับและอนุกรมเรขาคณิต

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), r ≠ 1

S∞ = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1

  • r = aₙ₊₁ / aₙ อัตราส่วนร่วม ถ้า r = 1 ทุกพจน์เท่ากัน Sₙ = n·a₁
  • รู้สองพจน์ aₚ, a_q: r^(q−p) = a_q / aₚ ถ้า q − p เป็นเลขคู่และอัตราส่วนเป็นบวก จะได้ r สองค่า (±) ถ้าอัตราส่วนเป็นลบและ q − p เป็นเลขคู่ จะไม่มี r ที่เป็นจำนวนจริง
  • มัชฌิมเรขาคณิตของ a กับ b คือ ±√(ab) และพจน์กลางของลำดับเรขาคณิตเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพจน์ข้างเคียง
  • ถ้า |r| ≥ 1 (และ a₁ ≠ 0) อนุกรมลู่ออก ไม่มีผลบวกอนันต์

ตัวอย่างการคำนวณ

ลำดับ 2, 6, 18, 54, … จงหาพจน์ที่ 8 และผลบวก 8 พจน์แรก

  1. a₁ = 2, r = 6 ÷ 2 = 3
  2. a₈ = 2 × 3⁷ = 2 × 2,187 = 4,374
  3. S₈ = 2(3⁸ − 1)/(3 − 1) = 2 × 6,560 ÷ 2 = 6,560

อนุกรม 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …: r = 1/2 มี |r| < 1 ผลบวกอนันต์ S∞ = 1/(1 − 1/2) = 2

ลำดับเรขาคณิตมี a₂ = 6 และ a₄ = 54: r² = 54/6 = 9 → r = ±3 ได้ลำดับ 2, 6, 18, 54 หรือ −2, 6, −18, 54

ที่มาของสูตร Sₙ

ให้ Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ คูณทั้งสองข้างด้วย r ได้ rSₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ นำสองสมการลบกัน พจน์ตรงกลางตัดกันหมด เหลือ Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ ดังนั้น Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ) จึงได้ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) และเมื่อ |r| < 1 ค่า rⁿ เข้าใกล้ 0 เมื่อ n มาก ทำให้ S∞ = a₁/(1 − r)

ลำดับเรขาคณิตในชีวิตจริง

  • ดอกเบี้ยทบต้น: เงิน P ที่ดอกเบี้ย i ต่อปี หลัง n ปีเป็น P(1 + i)ⁿ คือลำดับเรขาคณิตที่ r = 1 + i
  • ค่าเสื่อมราคา: รถที่ราคาลด 15% ต่อปี มี r = 0.85
  • การแบ่งเซลล์ / การแพร่ระบาด: จำนวนเพิ่มเป็นสองเท่าทุกช่วงเวลา r = 2
  • ทศนิยมซ้ำ: 0.333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3

คำถามที่พบบ่อย

r ติดลบได้ไหม

ได้ ลำดับจะสลับเครื่องหมาย เช่น 3, −6, 12, −24 มี r = −2 สูตร aₙ และ Sₙ ใช้ได้ตามปกติ และถ้า −1 < r < 0 อนุกรมยังลู่เข้าและมี S∞

ทำไมหา r จากสองพจน์แล้วได้สองคำตอบ

เพราะถ้าพจน์ทั้งสองห่างกันเป็นเลขคู่ เช่น a₂ กับ a₄ จะได้ r² = ค่าบวก ซึ่งถอดรากได้ทั้ง +√ และ −√ จึงมีลำดับที่เป็นไปได้สองแบบ ถ้าโจทย์บอกเพิ่มว่าพจน์เป็นบวกทั้งหมด ให้เลือก r บวก

ผลบวกอนันต์มีเมื่อไร

เมื่อ |r| < 1 เท่านั้น เพราะพจน์จะเล็กลงเรื่อย ๆ จนผลบวกเข้าใกล้ค่าคงที่ a₁/(1 − r) ถ้า |r| ≥ 1 ผลบวกจะโตไม่มีขอบเขตหรือแกว่งไปมา จึงบอกว่าอนุกรมลู่ออก

กรอก r เป็นเศษส่วนได้ไหม

ได้ พิมพ์ 1/2 หรือ 2/3 ในช่อง r ได้เลย โปรแกรมจะแสดงค่าพจน์และผลบวกเป็นเศษส่วนแม่นตรงควบคู่กับทศนิยม

แหล่งอ้างอิง

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง